เนื้อหาการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน 2

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number)

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

1.            ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2.            ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

1.             จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number) เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์ 

พยายามแก้ไขปัญหาในค่า x จากสมการ  x² + 1 = 0

x²  =  -1

x  =  ± Ö- 1

แต่เนื่องจากÖ- 1    มิใช่จำนวนจริง นักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมาย Ö     ว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์ i  แทน Ö-1 

 ดังนั้น      i²  =  -1

 1.             จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน

a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0  จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1.             จำนวนเต็ม (Integer)

2.             เศษส่วน (Fraction)

3.             ทศนิยม (Repeating decimal)

3.  จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ

            ส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0   หรือจำนวน

อตรรกยะคือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.             จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นÖ2,Ö3,4Ö5 เป็นต้น  

2.             จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วpเป็นเลข

อตรรกยะ

จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

4.  จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) เขียนแทนด้วย z โดยที่ z = (a,b)

            จะได้ว่า      z  =  a + bi   เมื่อ  i  =  Ö-1                      i² = -1

                                   

            เรียก     a ว่า เป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z

                        b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z

4.1  การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน 

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น   z₁  =  z₂   ก็ต่อเมื่อ a = c  และ b = d

4.2  การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น z₁ + z₂  =  (a+c) + (b+d)i

4.3                            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้ z₁ = a + bi  และ k  เป็น จำนวนจริง

kz  =  ka + kbi

4.4                            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

            z₁ z₂ = (a + bi)( c + di)  =  (ac - bd , ad+bc)

ตัวอย่าง  จงหาผลคูณของ   3 + 4i  กับ  2 + i

วิธีทำ               (3 + 4i)( 2 + i )    =      6 +3i + 8i + 4i²

                                                            =          6 + 11i - 4   =  2 + 11i

4.5                            คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน  แทนด้วย   z 

ถ้า z = a + bi  แล้ว   z  =  a - bi

4.6                            การแก้สมการที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการอยู่ในรูป  ax² + bx + c = 0  เมื่อ a ¹  0

ในกรณีนี้ให้ใช้สูตร

            x  =  - b ± Ö b²  - 4ac

                                    2a

4.7                            ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi

ให้ z = a + bi  ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ z คือ

z      =   Ö a²  +  b²