เนื้อหาการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ${\displaystyle i}$ ซึ่งทำให้สมการ ${\displaystyle i^2+1=0}$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z}$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป ${\displaystyle x+iy}$ โดยที่ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ${\displaystyle z}$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb{C}}$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ${\displaystyle (a,b)}$ ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$ (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle (c,d)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\ne (0,0)}$ อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$) คือ ${\displaystyle (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})}$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c}$ เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$ และ ${\displaystyle (0,1)}$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)}$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$ ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$ แทน ${\displaystyle (0,1)}$จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^2=(-1,0)=-1}$ นั่นคือ ${\displaystyle i}$ เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^2+1=0}$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อน
จึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^2+1}$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม ${\displaystyle \mathbb{R}[x]}$ กับไอดีล ${\displaystyle (x^2+1)}$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ${\displaystyle (a,b)}$ ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$ (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle (c,d)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\ne (0,0)}$ อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$) คือ ${\displaystyle (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})}$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c}$ เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$ และ ${\displaystyle (0,1)}$ 

กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)}$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$ ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$ แทน ${\displaystyle (0,1)}$จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^2=(-1,0)=-1}$ นั่นคือ ${\displaystyle i}$ เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^2+1=0}$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^2+1}$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม ${\displaystyle \mathbb{R}[x]}$ กับไอดีล ${\displaystyle (x^2+1)}$ 

${\displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)}$

${\displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)}$