ลอการิทึม
- ลอการิทึมของ 1000 ในฐาน 10 มีค่าเป็น 3 เพราะว่า 10 คูณกัน 3 ตัวแล้วได้ 1000 นั่นคือ 10 × 10 × 10 = 1000
- ลอการิทึมของ 32 ในฐาน 2 มีค่าเป็น 5 เพราะว่า 2 คูณกัน 5 ตัวแล้วได้ 32 นั่นคือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
ถ้าเขียนด้วยสัญลักษณ์ยกกำลังจะได้ว่า
- 103 = 1000 ดังนั้น log10 1000 = 3
- 25 = 32 ดังนั้น log2 32 = 5
ลอการิทึมของ x ในฐาน b เขียนแทนด้วย logb x หรือถ้าฐานมีค่าใด ๆ เป็นปริยาย จะเขียนเพียงแค่ log x (ไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บรอบ x) ดังนั้นสำหรับจำนวน x ฐาน b และเลขชี้กำลัง y ที่สามารถเป็นไปได้
-
คุณลักษณะหนึ่งที่สำคัญของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวกดังนี้
-
หมายความว่า ลอการิทึมของผลคูณของสองจำนวน จะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของแต่ละจำนวน การใช้ลอการิทึมเพื่อลดทอนการคำนวณที่ซับซ้อนเป็นหนึ่งในแรงผลักดันอย่างมีนัยสำคัญในการพัฒนาที่มีมาแต่เดิม มีการใช้งานลอการิทึมอย่างกว้างขวางทั้งในงานสถิติศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ ดนตรี และวิศวกรรมศาสตร์
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่าง ๆ สีแดงคือฐาน e สีเขียวคือฐาน 10 สีม่วงคือฐาน 1.7 กราฟทุกเส้นผ่านจุด (1, 0) เนื่องจากจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลัง 0 แล้วได้ 1 และกราฟทุกเส้นผ่านจุด (
b, 1) สำหรับฐาน
b เพราะว่าจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 แล้วได้ค่าเดิม เส้นโค้งทางซ้ายเข้าใกล้แกน
yแต่ไม่ตัดกับแกน
y เพราะมี
ภาวะเอกฐานอยู่ที่
x = 0 (
เส้นกำกับในแนวดิ่ง)
สมบัติ
เมื่อ x และ b ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงบวก logb x จะให้ผลเป็นจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียว ขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของฐาน b จะต้องไม่เป็น 0 หรือ 1 แต่โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมจะเป็น 10, e หรือ 2 มีการนิยามลอการิทึมสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนด้วย
-
เมื่อใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
-
ตัวอย่างเช่น
-
สมบัติที่เกี่ยวข้องคือการลดรูปยกกำลังไปเป็นการคูณ โดยใช้เอกลักษณ์นี้
-
ซึ่งเมื่อนำ c ไปยกกำลัง p จะได้ว่า
-
กล่าวโดยนัยได้ว่า การหาค่าจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง p ก่อนอื่นให้หาค่าลอการิทึมฐาน b ของจำนวนนั้นแล้วคูณด้วย p แล้วใส่ผลคูณเป็นเลขชี้กำลังกลับไปยังฐาน b นั่นคือ จำนวนที่ยกกำลัง = b (ผลคูณ)
หรือใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
-
ตัวอย่างเช่น
-
นอกจากการลดรูปการคูณเป็นการบวก และการยกกำลังเป็นการคูณแล้ว ลอการิทึมยังสามารถลดรูป
การหารเป็น
การลบ และ
รากเป็นการหาร เช่น
-
ลอการิทึมทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อันยืดยาวให้คำนวณง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการคูณหรือการบวก สำหรับการคำนวณด้วยมือโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการเทียบค่าจากตารางลอการิทึม หรือใช้
สไลด์รูล สำหรับ
ลอการิทึมสามัญ มีสมบัติหนึ่งที่ปรากฏในการใช้ตารางที่ว่า ลำดับตัวเลขใด ๆ ที่มีค่าเดียวกัน แต่มีค่าประจำหลักต่างกัน จะยังคงให้
แมนทิสซา (mantissa) ค่าเดียวกัน และต่างกันเพียงแค่
แคแรกเทอริสติก (characteristic)
ฟังก์ชันลอการิทึม
ถึงแม้ว่าลอการิทึมเป็นแนวคิดดั้งเดิมของลำดับเลขคณิตของจำนวน ที่สอดคล้องกับลำดับเรขาคณิตของจำนวนอื่น (จำนวนจริงบวก) ดังเช่นที่ให้ความหมายไว้ในสารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ลอการิทึมยังเป็นผลลัพธ์จากการใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ ฟังก์ชันนั้นสามารถมีความหมายที่ขยายออกไปบนจำนวนเชิงซ้อนได้
ค่าของฟังก์ชัน log
b x ขึ้นอยู่กับ
b และ
x ทั้งสองตัว แต่สำหรับ
ฟังก์ชันลอการิทึมในการใช้งานตามปกติคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ log
b (
x) โดยที่ฐาน
b เป็นค่าเดียวคงที่ (ซึ่งต้องเป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับ 1) และมี
x เป็นอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมของแต่ละค่าบนฐาน
b ให้ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว ด้วยมุมมองนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมฐาน
b เป็น
ฟังก์ชันผกผันของ
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง bx บ่อยครั้งที่คำว่า "ลอการิทึม" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมโดยตัวมันเองหรือหมายถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน
สารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ให้ความหมายลอการิทึมว่า "ชุดของจำนวนใน
การก้าวหน้าเลขคณิต ซึ่งสอดคล้องกับ
การก้าวหน้าเรขาคณิต นั่นหมายความว่า การคำนวณเลขคณิตสามารถทำให้ง่ายและรวดเร็วมากขึ้นกว่าวิธีอื่น"
ลอการิทึมของจำนวนลบหรือจำนวนเชิงซ้อน
มีเพียงจำนวนจริงบวกเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ของลอการิทึมเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถขยายไปได้บนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครอบคลุมจำนวนลบด้วย และให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ค่าของมันอาจมีมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น e2πi = e0 = 1 ซึ่งจะทำให้ลอการิทึมฐาน e ของ 1 มีผลลัพธ์เป็นทั้ง 2πi และ 0
เมื่อ
z เป็นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ
x + i
y โดยที่
x และ
y เป็นจำนวนจริง ลอการิทึมของ
z สามารถหาได้จากการแปลงเป็น
รูปแบบเชิงขั้ว นั่นคือ
-
โดยที่ r และ θ มาจาก
-
- คือมุมใดก็ได้ที่ทำให้ x = r cos θ และ y = r sin θ ซึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่า
ถ้าฐานของลอการิทึมถูกเลือกเป็นค่า e นั่นคือใช้ log
e หรือ ln อันหมายถึง
ลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นลอการิทึมเชิงซ้อนของ
z คำนวณได้ดังนี้
-
แต่เนื่องจาก
arg เป็นฟังก์ชันที่มีผลลัพธ์หลายค่า ดังนั้นจึงมีการนิยามฟังก์ชันใหม่ของลอการิทึมคือ Log (ขึ้นต้นอักษรตัวใหญ่) ซึ่งจะให้ค่าเพียงค่าเดียวดังนี้
-
โดยที่ φ จะให้ค่าเพียงค่าเดียวในช่วง (−π, π] ซึ่งมีความหมายเหมือนกับ φ ≡ θ (mod 2π) และ Arg คือฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมเพียงค่าเดียวในช่วงดังกล่าว ซึ่งเป็นการนิยามเพิ่มเติมจากฟังก์ชัน arg ฟังก์ชัน Arg นี้เมื่อใช้กับจำนวนจริงจะคืนค่าเป็น 0 ออกมา ซึ่งส่งผลให้พจน์ที่เป็นจำนวนจินตภาพถูกตัดทิ้งไป เหลือแต่ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงเท่านั้น
ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงลบ r หาได้จากสูตร
-
สำหรับลอการิทึมฐานอื่นที่ไม่ใช่ e ลอการิทึมเชิงซ้อน logb (z) สามารถนิยามได้จาก ln (z) / ln (b) ซึ่งแต่ละพจน์ได้นิยามวิธีการคำนวณไว้แล้ว
ในกรณีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน log zp อาจมีค่าไม่เท่ากับ p log z เสมอไป
ทฤษฎีสรุป
จากมุมมองขั้นต้นทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์นี้
-
เป็นพื้นฐานของสองเรื่อง ประการแรกคือสมบัติเชิงเลขคณิตทั้งสามอาทิ สมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง จะยังคงมีอยู่ ประการที่สองคือเอกลักษณ์นี้แสดงให้เห็น
สมสัณฐาน (isomorphism) ระหว่าง
กรุปการคูณของจำนวนจริงบวกกับ
กรุปการบวกของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้นที่เป็นสมสัณฐานอย่างต่อเนื่องระหว่างกรุปดังกล่าว
ฐาน
ปกติแล้วฐานของลอการิทึมที่ใช้กันอย่างกว้างขวางได้แก่ 10, e ≈ 2.71828… และ 2 เมื่อเราเขียนว่า "log" โดยไม่ปรากฏฐาน (b ที่หายไปจาก logb) ความหมายของฐานที่ใช้ขึ้นอยู่กับบริบทดังนี้
-
ลอการิทึมสามัญ (log
10, log, lg) ในหลายแขนงวิชาของ
วิศวกรรมศาสตร์ โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับระดับกำลังหรืออัตราส่วนกำลังเช่น
ความดันเสียง และตารางลอการิทึมซึ่งใช้สำหรับการคำนวณด้วยมือ ใช้สำหรับการประมาณค่าเช่น 2
10 ≈ 10
3 นำไปสู่การประมาณค่า 3
เดซิเบลต่อ
อ็อกเทฟ อันเป็นผลมาจากการใช้ log
10
- ลอการิทึมฐานสอง (log2, lg, lb, ld) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีสารสนเทศ การคำนวณทฤษฎีสารสนเทศใช้ log2 อันนำไปสู่หน่วยบิต (bit) ซึ่งเป็นความหมายแรกเริ่ม เทียบกับกับการคำนวณโดยใช้ loge อันนำไปสู่หน่วยแนต (nat) ซึ่งไม่ได้เป็นความหมายดั้งเดิม แม้ว่าหน่วยทั้งสองนี้จะมีฟังก์ชันเทียบเท่ากัน ต่างกันที่มาตราส่วนเท่านั้น
-
ลอการิทึมไม่จำกัด (Log, [log ], log) ซึ่งฐานของมันไม่เกี่ยวเนื่องกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความซับซ้อนที่อธิบายเกี่ยวกับพฤติกรรมของขั้นตอนวิธีในสัญกรณ์โอใหญ่ ซึ่งใช้อธิบายลักษณะของขั้นตอนวิธีอาทิ "พฤติกรรมเชิงลอการิทึม" ไม่ได้เป็นการวัดประสิทธิภาพอย่างเจาะจงของขั้นตอนวิธีในสถานการณ์ที่กำหนด
เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้ ควรระบุฐานลงไปด้วยเพื่อไม่ให้เกิดความเข้าใจผิด
สัญกรณ์ของฐานและฐานโดยนัย
บ่อยครั้งที่ฐานไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ log (x) ซึ่งในแต่ละสาขาวิชาก็มีธรรมเนียมการใช้ต่างกัน เราสามารถเข้าใจได้โดยนัยในสาขาวิชาหรือภาวะแวดล้อมนั้น
- นักคณิตศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ loge (x)
- วิศวกร นักชีววิทยา และนักดาราศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมสามัญ log10 (x)
- นักวิทยาการคอมพิวเตอร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมฐานสอง log2 (x)
- ใน
ภาษาโปรแกรมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานอย่างแพร่หลาย ฟังก์ชัน "log" จะคืนค่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ
มาตรฐานที่ต่างกันเกิดขึ้นจากสมบัติที่ต่างกันอันเป็นที่นิยมใช้ในสาขาวิชานั้น ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติมีสมบัติหลายอย่างที่เป็น "ธรรมชาติ" (เช่น
อนุพันธ์ของมันเท่ากับ 1/
x เป็นต้น) ทำให้เป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ ในขณะที่เราเขียนจำนวนต่าง ๆ เป็น
เลขฐานสิบ การคิดเลขในใจจึงง่ายขึ้นด้วยลอการิทึมสามัญ และเป็นที่น่าสนใจของวิศวกร และสุดท้าย คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลในหน่วยพื้นฐานเป็น
บิต เทียบได้กับ
เลขฐานสอง เราสามารถทราบว่าจำนวนเต็ม
n ใช้เนื้อที่เก็บกี่บิตอย่างคร่าว ๆ โดยใช้ลอการิทึมฐานสอง log
2 (
n) นอกจากนั้น
การค้นหาแบบทวิภาคในรายการที่มีขนาด
n จะสามารถทำการค้นหาภายใน log
2 (
n) ขั้นตอน สมบัติเช่นนี้ปรากฏซ้ำ ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทำให้ลอการิทึมฐานสองเป็นที่นิยมในสาขานี้ เป็นต้น
บ่อยครั้งที่ประเทศในแถบยุโรปใช้สัญกรณ์นี้ blog (x) แทนที่จะเป็น logb (x)
สัญกรณ์ ln
ลอการิทึมธรรมชาติของ x เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า ln (x) แทนที่จะเป็น loge (x) โดยเฉพาะในสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์
อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์บางคนไม่ยอมรับการใช้สัญกรณ์นี้ อาทิ
พอล ฮาลมอส (Paul Halmos) นักคณิตศาสตร์ชาวยิว ได้วิจารณ์ไว้ในอัตชีวประวัติของเขาเมื่อ ค.ศ. 1985 ว่า ln เป็น "สัญกรณ์แบบเด็ก ๆ" และเขายังกล่าวอีกด้วยว่าไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนเคยใช้ ข้อเท็จจริงคือสัญกรณ์นี้คิดค้นขึ้นโดย
เออร์วิง สตริงแฮม (Irving Stringham) ศาสตราจารย์จาก
มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ เมื่อ ค.ศ. 1893
วิทยาการคอมพิวเตอร์
0 ความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น