เนื้อหาการเรียน เรื่อง ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น ม.5

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

เนื้อหาการเรียน เรื่อง ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

1. กราฟ

กราฟเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้จำลองปัญหาบางปัญหาโดยเขียนแผนภาพที่ประกอบด้วยจุดและเส้น ปัจจุบันมีการนำทฤษฎีกราฟมาประยุกต์ใช้ในศาสตร์สาขาต่าง ๆ เช่น วิทยาศาสตร์ สังคมศึกษา เศรษฐศาสตร์ พันธุศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น

บทนิยาม กราฟ G ประกอบด้วยเซตจำนวน 2 เซต คือ

1. เซตที่ไม่เป็นเวตว่างของจุดยอด (vertex) แทนด้วยสัญลักษณ์ V(G)

2. เซตของเส้นเชื่อม (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอดแทนด้วยสัญลักษณ์ E(G)

2. ดีกรี

ดีกรีของจุดยอด

จะเห็นว่า เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a ได้แก่ เส้นเชื่อม ab และ ac ดังนั้น จำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด a คือ 2 สำหรับจุดยอด b มีเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด b ได้แก่ เส้นเชื่อม ba, bc และ bb เป็นวงวน เกิดกับจุดยอด b กรณีที่มีเส้นเชื่อมเป็นวงวนจะกำหนดให้นับจำนวนเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดนั้นเพิ่มขึ้น โดยให้นับเส้นเชื่อมที่เป็นวงวน 1 วง วงวนเป็น 2 ดังนั้นจำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด b จึงเป็น 4บทนิยาม ดีกรี (Degree) ของจุดยอด V ในกราฟ คือ จำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด v

ต่อไปจะเรียกจำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดว่า ดีกรี ใช้สัญลักษณ์ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v ตัวอย่างที่ 1 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 2

deg b = 1

deg c = 3

deg d = 4

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 5

deg b = 5

deg c = 5

deg d = 4

พิสูจน์ เนื่องจากเส้นเชื่อมแต่ละเส้นในกราฟเกิดกับจุดยอดเป็นจำนวน 2 ครั้ง ดังนั้นเส้นเชื่อมแต่ละเส้น

จะถูกนับ 2 ครั้งในผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด

นั่นคือ ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ข้อสังเกต ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็นจำนวนคู่เสมอ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟที่มีผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับ 22

วิธีทำ สมมติว่า กราฟมีเส้นเชื่อม n เส้น

จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุดจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ดังนั้น 22 = 2n

นั่นคือ n = 11

สรุปได้ว่า กราฟมีเส้นเชื่อม11 เส้น

ตัวอย่างที่ 4 จงหาจำนวนจุดยอดของกราฟที่มีเส้นเชื่อม 15 เส้น และมีจุดยอด 3 จุด ที่มีดีกรี 4 ส่วนจุดยอดที่เหลือมีดีกรี 3

วิธีทำ ให้ n เป็นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรี 3

ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ คือ (3)(4) + 3n

จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุดจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ดังนั้น (3)(4) + 3

เพราะฉะนั้น n = 6

ดังนั้น จำนวนจุดยอดทั้งหมดของกราฟ คือ 3 + 6 = 9 จุด

วิธีทำ สมมติว่า มีดีกรีที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอดเท่ากับ 1, 1, 2 และ 3

ดังนั้น ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด คือ 1 + 1 + 2 + 3 = 7

ซึ่งเป็นจำนวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 1

ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะมีกราฟดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 5 จงพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ว่า จะมีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1, 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 2

deg b = 3

deg c = 0

deg d = 3

deg e = 2

ดังนั้น จุดยอด a, c และ e เป็นจุดยอดคู่

จุดยอด b และ d เป็นจุดยอดคี่

ทฤษฎีบท2 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ ให้ G เป็นกราฟ

ถ้า G ไม่มีจุดยอดคี่ นั่นคือ G มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นศูนย์

จึงได้ว่าG มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

ต่อไปสมมติว่า กราฟ G มีจุดยอดคี่ k จุด คือ v1, v2, v3, …, vk

และมีจุดยอดคู่ n จุด คือ u1, u2, u3, …, un จากทฤษฎีบท 1

จะได้ว่า (deg v1 + deg v2 + … + deg vk) + (deg u1 + deg u2 + … + deg un) = 2q

เมื่อ q คือ จำนวนเส้นเชื่อมของ G

ดังนั้น deg v1 + deg v2 + … + deg vk = 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un)

เนื่องจาก deg u1 + deg u2 + … + deg un ต่างก็เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เป็นจำนวนคู่

นั่นคือ deg v1 + deg v2 + … + deg vk เป็นจำนวนคู่

แต่เนื่องจาก deg v1 + deg v2 + … + deg vk เป็นจำนวนคี่

เพราะฉะนั้น k จะต้องเป็นจำนวนคู่ จึงจะทำให้ deg v1 + deg v2 + … + deg vk

เป็นจำนวนคู่ สรุปได้ว่า กราฟ G มีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

จากตัวอย่างที่ 5 เราให้เหตุผลโดยอาศัยทฤษฎีบท 2 ดังนี้

สมมติว่า มีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1, 1, 2 และ 3

จะได้ว่า กราฟมีจุดยอดคี่เป็นจำนวน 3 จุด ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท 2 สรุปได้ว่า ไม่มีกราฟที่มีสมบัติดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 7 ถ้าในห้องประชุมแห่งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมประชุมทั้งหมด 23 คน เป็นไปได้หรือไม่

ว่าผู้เข้าร่วมประชุมแต่ละคนจับมือทักทายผู้เข้าร่วมประชุมคนอื่นเพียง 7 คนเท่านั้น

วิธีทำ แปลงปัญหาดังกล่าวเป็นกราฟ โดยให้จุดยอดแทนผู้เข้าร่วมประชุม และเส้นเชื่อมแทน การจับมือทักทายของผู้เข้าร่วมประชุม

จะได้ว่า กราฟนี้มีจุดยอด 23 จุด และจุดยอดแต่ละจุดมีดีกรี 7

นั้นคือ กราฟมีจุดยอดคี่เป็นจำนวน 23 จุด ซึ่งเป็นจำนวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 2

ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่ผู้เข้าร่วมประชุมแต่ละคนจับมือกับคนอื่นเพียง 7 เท่านั้น

3. กราฟออยเลอร์

ออยเลอร์ได้ให้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับปัญหานี้ไว้ดังนี้

เครือข่าย ที่แสดงเป็นกราฟจะประกอบด้วยจุดเชื่อมโยง (Vertices) และเส้นเชื่อมโยงระหว่างจุด เรียกว่า arcs

จุด ที่มีจำนวนเส้นที่เชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคี่ เรียกว่า odd และถ้าจุดนั้นมีเส้นเชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคู่ จะเรียกว่า even

เส้นทางออยเลอร์ คือเส้นทางที่ลากผ่านเส้นต่าง ๆ ในเครือข่าย โดยแต่ละเส้นลากผ่านได้เพียงครั้งเดียว

ทฤษฎีของออยเลอร์ กล่าวว่า ถ้าหากว่าเครือข่ายใดมีจุดที่เป็น odd มากกว่าสองขึ้นไป จะไม่มีทางสร้างเส้นทางออยเลอร์ได้

เนื้อหาการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน 2

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number)

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

1.            ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2.            ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

1.             จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number) เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์ 

พยายามแก้ไขปัญหาในค่า x จากสมการ  x² + 1 = 0

x²  =  -1

x  =  ± Ö- 1

แต่เนื่องจากÖ- 1    มิใช่จำนวนจริง นักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมาย Ö     ว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์ i  แทน Ö-1 

 ดังนั้น      i²  =  -1

 1.             จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน

a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0  จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1.             จำนวนเต็ม (Integer)

2.             เศษส่วน (Fraction)

3.             ทศนิยม (Repeating decimal)

3.  จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ

            ส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0   หรือจำนวน

อตรรกยะคือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.             จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นÖ2,Ö3,4Ö5 เป็นต้น  

2.             จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วpเป็นเลข

อตรรกยะ

จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

4.  จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) เขียนแทนด้วย z โดยที่ z = (a,b)

            จะได้ว่า      z  =  a + bi   เมื่อ  i  =  Ö-1                      i² = -1

                                   

            เรียก     a ว่า เป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z

                        b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z

4.1  การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน 

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น   z₁  =  z₂   ก็ต่อเมื่อ a = c  และ b = d

4.2  การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น z₁ + z₂  =  (a+c) + (b+d)i

4.3                            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้ z₁ = a + bi  และ k  เป็น จำนวนจริง

kz  =  ka + kbi

4.4                            การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

            z₁ z₂ = (a + bi)( c + di)  =  (ac - bd , ad+bc)

ตัวอย่าง  จงหาผลคูณของ   3 + 4i  กับ  2 + i

วิธีทำ               (3 + 4i)( 2 + i )    =      6 +3i + 8i + 4i²

                                                            =          6 + 11i - 4   =  2 + 11i

4.5                            คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน  แทนด้วย   z 

ถ้า z = a + bi  แล้ว   z  =  a - bi

4.6                            การแก้สมการที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการอยู่ในรูป  ax² + bx + c = 0  เมื่อ a ¹  0

ในกรณีนี้ให้ใช้สูตร

            x  =  - b ± Ö b²  - 4ac

                                    2a

4.7                            ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi

ให้ z = a + bi  ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ z คือ

z      =   Ö a²  +  b²

เนื้อหาการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ${\displaystyle i}$ ซึ่งทำให้สมการ ${\displaystyle i^2+1=0}$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z}$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป ${\displaystyle x+iy}$ โดยที่ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ${\displaystyle z}$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb{C}}$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ${\displaystyle (a,b)}$ ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$ (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle (c,d)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\ne (0,0)}$ อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$) คือ ${\displaystyle (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})}$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c}$ เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$ และ ${\displaystyle (0,1)}$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)}$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$ ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$ แทน ${\displaystyle (0,1)}$จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^2=(-1,0)=-1}$ นั่นคือ ${\displaystyle i}$ เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^2+1=0}$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อน
จึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^2+1}$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม ${\displaystyle \mathbb{R}[x]}$ กับไอดีล ${\displaystyle (x^2+1)}$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ${\displaystyle (a,b)}$ ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$ (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle (c,d)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\ne (0,0)}$ อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$) คือ ${\displaystyle (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})}$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c}$ เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$ และ ${\displaystyle (0,1)}$ 

กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)}$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$ ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$ แทน ${\displaystyle (0,1)}$จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^2=(-1,0)=-1}$ นั่นคือ ${\displaystyle i}$ เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^2+1=0}$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^2+1}$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม ${\displaystyle \mathbb{R}[x]}$ กับไอดีล ${\displaystyle (x^2+1)}$ 

${\displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)}$

${\displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)}$